Fonction Carrée f(x) = x²

Quelques Théorèmes

↬ x² = a ⇔ x = $\sqrt{\mathrm{a}}$ ou x = - $\sqrt{\mathrm{a}}$

Rappelons que a doit être ≥ 0, car x² n'est jamais négatif sur $ℝ$

↬ x² ≥ a ⇔ x ≥ $\sqrt{\mathrm{a}}$ ou x ≤ - $\sqrt{\mathrm{a}}$

↬ Etudions le passage au carrée de l'inéquation a ≤ b

Fonction Racine Carrée f(x) = $\sqrt{\mathrm{x}}$

Quelques Théorèmes

↬ Résolvons $\sqrt{\mathrm{x}}$ ≥ a,

① Si a ≤ 0, alors x ∈ [0,+∞[

② Si a ≥ 0, alors x ∈ [a²,+∞[

↬ Etudions le passage à la racine carrée de l'inéquation a ≤ b

Pour cela il faut impérativement que a et b soient positifs, on a alors :

0 ≤ $\sqrt{\mathrm{a}}$ ≤ $\sqrt{\mathrm{b}}$ ; on ne change pas le sens de l'inégalité car $\sqrt{\mathrm{x}}$ croît sur [0;+∞[

Conclusion

↬ D'une part, la fonction carrée sert à éliminer la racine carrée :

$\sqrt{\mathrm{x}}$ = 2 ⇔ en passant au carré, $\sqrt{\mathrm{x}}$ ² = 2² ⇔ x = 4

↬ D'autre part, la fonction racine carrée sert à éliminer le carré :

x² = 7 ⇔ en passant à la racine, x = $\sqrt{7}$ ou - $\sqrt{7}$

.